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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 P,2bceLO  
IEV"pV  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. $@"5 nWJ[  
S'cG5p  
　　1、三角函数本质： IWqz aA  
:FQ\OR/C(  
　　三角函数的本质来源于定义 Mbs5!z  
v)QV*s  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 QA*f.:A  
f%N DB}`  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 'DNLE %0Q  
~ 57"qgC  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： op!(7|4  
x!l0GPw  
　　推导： ;yYu@qa  
!_VWczBA\  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 `DgL; y7n  
wIG$+Fnnu  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) {B E|k6!{M  
@V>y9  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Edyq5JY  
o Gcq52]  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 9 4}*7  
'<&?WB(t  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） q(.E3!U  
L1?f@t :f  
　　[1] V$, *4 $%}  
)q|wtg  
　　两角和公式 nf6hf9  
+_7f  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB s@O+gu!  
g1 ;c0rh  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  3u[ o2  
a3}:@aswA  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB e)j ij>  
l ;<f].`_  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB K>M['GDXM  
2y4/iw*i  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ~}OI4o  
vWBw>g:jq  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) `KZ,wU@jX  
`fGG4Xaw?  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ?E&|W2[B<7  
:I2 7.)`  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) vxA8HL'Q  
QtZC0a; y  
倍角公式 sqz#6 /  
w%KMc{  
　　Sin2A=2SinA•CosA umt$U3c6?K  
KG.&K[U0  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 bx;qg`.Y  
3fk _Q8  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） DW( M (  
G8jTj; 5  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ~omnOX3  
Sor2Fo73  
三倍角公式 1 8i5B<}  
E8,Q }`wa  
　　 U?w3 hy  
Pl/kYk(k#  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) R$oM~~ -  
&/r6=T %F  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) h^yQhH@I  
xRE0 K8  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) L5c ;w2  
Gc#l `  
三倍角公式推导 b-%d ipR  
c_D#H  
　　sin3a v(,F*Z  
ZKet 2;W0  
　　=sin(2a+a) $ead.j  
gyguPGXiW  
　　=sin2acosa+cos2asina :l/0IB.e  
OK5R  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina #_^@Yqg  
@v8W(6XQz  
　　=3sina-4sin³a Z9#n6g,|{  
D 7htS Y  
　　cos3a fWE.7sm_  
m*X<DO7  
　　=cos(2a+a) pm(`bX`  
_ZE yc;S  
　　=cos2acosa-sin2asina hv< _zXs  
RL@4 g3?  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa *6s$w&<  
K*}rbt%x{$  
　　=4cos³a-3cosa mix&"{O$S$  
YYylei/k  
　　sin3a=3sina-4sin³a oNB*mNI]  
Wkp?`EXr  
　　=4sina(3/4-sin²a) !svQmE  
mE?>eFRB9  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] uwrZ F{  
NgGf=/B&  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) EAeG'I[ F\  
jT8w;%\  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)  vf3Y!}Fh  
 #z^j1"  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] +;BC%<  
r `k-D, WN  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 9y$`CS$N  
%x5qI=  
　　cos3a=4cos³a-3cosa wXc{~H<  
2z +Y$Gjm  
　　=4cosa(cos²a-3/4) lK^s/yTx~  
ZTR?i"E  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 8*o9Wn\A}  
]"cFdSF=  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ;?+D _Q  
we?%1?  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) U!<H64C+  
kCp' '[BZ  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} w?zq>A:]  
, t417Q  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) '_L=<VZ E7  
5O_ =_  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] F30eK[}l  
2;7$= <3JM  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 1cn8{9}L/  
`g!e.%~  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) .mL:b  
[V<k K<  
　　上述两式相比可得 jJ}kJro]  
' d1'   
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) &w$9:5`N8  
:P *Q !1S  
半角公式 XOqr`W%)  
>kF{e9  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); xq*Ug/BL  
2rxP*cCk#  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. _>zPPwu N  
Vo U't  
和差化积 F/Nz0l ?  
OS|  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `X,<3bC6  
A~BZtFB}  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] "O,(eR5XF  
U[oTj-Pwl.  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Sm*MRS)  
'L)C5ui  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] U('U Q  
HK2'7h}  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <` DeE ):]  
C//H5(  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) JJa_QA[  
VHsg${#vj  
积化和差 DR 0Dw  
x,H#eEP  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] $&mH0a  
2ZwN,5a  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ~w .uer  
g:}}  Q  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] !e/mI`a$  
#_2%Z  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] >*hqZb%9$  
ntx!M0m  
诱导公式  ~ 'N&E  
X<na%)+<  
　　sin(-α) = -sinα VXQgfP3  
R}@M- E^`~  
　　cos(-α) = cosα |-i]6dSe  
3p0b3Y  
　　sin(π/2-α) = cosα ;B[-,lO  
3<Y+~[  
　　cos(π/2-α) = sinα pxxQ&E  
;&JPL$  
　　sin(π/2+α) = cosα xA6q'h|n  
vm_)Gjc2  
　　cos(π/2+α) = -sinα [;&!/2  
U+\9,k 3  
　　sin(π-α) = sinα >3AYhO  
x?Pq$]wl6  
　　cos(π-α) = -cosα R "nQ(Cq:  
r-y/*4i  
　　sin(π+α) = -sinα ~`)q}q"J  
p]$zB7  
　　cos(π+α) = -cosα Ph[5PlE]  
N >{<.<}^  
　　tanA= sinA/cosA IEHw1y  
358V3q:_  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα >!4tvqwuD  
]KQ$j+UzU  
　　tan（π/2－α）＝cotα CZ^~L*z%  
JaQ$ 1EXTD  
　　tan（π－α）＝－tanα 0\H`.\;m  
=U/'wF$  
　　tan（π＋α）＝tanα -*#Y5 d6  
:dqv].Zh  
万能公式 Hh09Je}  
[c m H  
　　 `E{KcT#  
M")a:yMB  
其它公式 [h$SD.7W  
[3SA!I__q  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 8\'"m`  
1:ez<5r'  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 i6a/2 S  
CEv& I=  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 (UXv~=  
ar&lsD;  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 IC]h9l5  
e%.N:%b  
　　对于任意非直角三角形,总有 g ^\yq1r  
Ya1J E]r  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jZ ~9HN5;  
:n4{c=u+/  
　　证: %U!.G`FM  
XqzMnp<  
　　A+B=π-C $<8E=Si&  
VQ<M z@2/  
　　tan(A+B)=tan(π-C) sZ@lx*O  
eG*~j!7  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) B'{,vGU=C  
_zqmh.Ugt  
　　整理可得 bgz(],y  
~9X3t="e^  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC XX0Gc~  
PZpqA27[B  
　　得证 o YXo#1-C  
=Uk?xDt  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 %rA+\^?  
z@uOA_t6"  
其他非重点三角函数 z@i`4qu  
&E&v)^C  
　　csc(a) = 1/sin(a) (;Kh*I{T}  
@6}Wz'?kw  
　　sec(a) = 1/cos(a) 83<m V  
68&IhbR;p  
　　 GVp4Ef9GJ  
B\ m-0  
双曲函数 CAYN0h Z;  
T}W_dJ  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Yn+0dzSa  
.:iMum  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ;w7"Qi$ e'  
>~a '1s  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) jTg8|;#  
^Mm%<U  
　　公式一： [XAey'gH]  
U:l%cz  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Tu 38$|"  
p1J,+oK[  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ? )U2q$V  
nri>b C  
　　cos（2kπ＋α）= cosα X&bFKxk  
[b.=`E  
　　tan（kπ＋α）= tanα F7 nbNij5  
#z3+@ 5  
　　cot（kπ＋α）= cotα mK;]@o?PR  
T}N9-uET  
　　公式二： ~;o^!uN~  
}pdW*?pu  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 5A]tf%Z  
|?v/\W  
　　sin（π＋α）= -sinα )=>GVW^QH  
\$K: rVd  
　　cos（π＋α）= -cosα -%F*` 5  
)#MD=rm  
　　tan（π＋α）= tanα nZ:dPC(  
gf9{l"[  
　　cot（π＋α）= cotα s4pJX!]  
_hCD<<&CZ  
　　公式三： 9GUpne&q  
{^hs+@.(  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： w;96ws"Or  
chy`Rjq  
　　sin（-α）= -sinα 1KhsF 4KE  
m} y08  
　　cos（-α）= cosα @O{8mpfb  
,-#>V.p  
　　tan（-α）= -tanα ,> 2lN~  
=E^Knkn2'  
　　cot（-α）= -cotα 4SGqY=f;  
`DZ`mOm|  
　　公式四： NJUMlqQ'  
Q@bz#=F4  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： M#?)[Rm3  
X2%j  
　　sin（π-α）= sinα oq9d9OSR  
GpSVFv.X?  
　　cos（π-α）= -cosα o C}==jh#  
T LR3v1  
　　tan（π-α）= -tanα 5K\q_c}9p  
Aig|{CkH"B  
　　cot（π-α）= -cotα Y,l?"[W  
`665"fj]V  
　　公式五： lmQ#.A&ig  
O;sV~]\Y  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： )4y hWEQ  
g{XE]k8  
　　sin（2π-α）= -sinα <O/s|'^  
y/\XoAJ  
　　cos（2π-α）= cosα !V=o{ &  
}{{pSWG  
　　tan（2π-α）= -tanα aoVM7:%=X  
7N#u%V@{m  
　　cot（2π-α）= -cotα U|4d;%3%  
476| /_q  
　　公式六： LwJ~$C:  
PDn` '!  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： &p_>pq9\  
.( ) U B  
　　sin（π/2+α）= cosα *Q8=aenY  
X]3|8h.  
　　cos（π/2+α）= -sinα W!T Up  
s$!_o`6O  
　　tan（π/2+α）= -cotα F>crHHn   
}ZL{r~_  
　　cot（π/2+α）= -tanα >0nk |{%  
b9@MpD38U  
　　sin（π/2-α）= cosα (RxS _)  
v>o8VP`  
　　cos（π/2-α）= sinα xH rPk3  
S^ZXt8Hf(;  
　　tan（π/2-α）= cotα M30HOqGy  
`ku&?Q  
　　cot（π/2-α）= tanα JW! ONe00  
#SH]RG1Q  
　　sin（3π/2+α）= -cosα K"`'h2-  
|yZV`%yp  
　　cos（3π/2+α）= sinα  k j+9W  
11*z[*j-  
　　tan（3π/2+α）= -cotα `!/4Rge  
xzz$ nh  
　　cot（3π/2+α）= -tanα qF%2*yl  
~4-lHNh  
　　sin（3π/2-α）= -cosα k1W4n, 2  
u*A2YF1  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ]7!L:"{  
|`?2/X4**  
　　tan（3π/2-α）= cotα (I:.A==  
'G<_ 6X  
　　cot（3π/2-α）= tanα ;!Wf r:  
+EbaQ"p  
　　(以上k∈Z) :6jZ2U  
FIVm"-tK  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 o_NtAS^KH  
@h<Hq2Z!  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $d7hRZ-  
vk~k@mW  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } qcxFT J   
{+BL5?Q  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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