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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 6\Lu.(Z  
=}Cu.o  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. [~} a D18  
Q]*8fK.!  
　　1、三角函数本质： }hFZ,))w  
[$Em3cC!`=  
　　三角函数的本质来源于定义 p}sFsaBux  
0{e ;O   
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 x:=Pd@1A  
 4y419  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 +~*Pe~FX!  
S_NfI)Ga7  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ;6/Szy sq  
RPA(r;Ti(  
　　推导： |AK^|;  
c|OR=#>/h  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 %fZeh0Dy  
G*79A*~Q  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ;XKR0<Hc0  
6XRv!B.LJ[  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) L|0VP:9  
X!k9;{  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 (.N  
xG6`3c["R?  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） evp&W  
l*jK*U'  
　　[1]  zUtU*  
5+pz3\r  
　　两角和公式 Z6$C`@U?  
=Q*fN+)nM  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB tppd\[K.  
#.UH@oRO  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  mXwi1-ML  
oK#x~%  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ) honaM!  
FI1 n  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB R?^f$Q;iv  
2xEz_0,K  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) D(F\q,a{*  
>a/JDA  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) A]HQ:-O(  
?B(`C  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  BNY%=jcs9B  
[GsLw7Q%  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) wSW8hIpT  
ZG^8u  
倍角公式 ?o(v{ib  
&@Zf}H-na  
　　Sin2A=2SinA•CosA ~hZD2_#"4*  
15n|$6  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 n2j[cgX^  
vga#U""  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） >: iL.[~  
y", g{u`<  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ?tiUnfx-AR  
8 [J"9oR  
三倍角公式 L==x2 2-;  
le .\8|u  
　　 y*K7j4c  
|rd'wC5  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) T,a X_ ,X  
ihyXx2v&  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) rZJX=i>6  
+e|W48H*{  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) pd{>Wv(   
js^ O| h  
三倍角公式推导 SQz:h  
6 5&Ls NW  
　　sin3a h%i0 ,]w!"  
Lw,s2*(?!  
　　=sin(2a+a) E8l,W3_dsd  
R$Q"'  
　　=sin2acosa+cos2asina jEt=XjL(o  
B/Gh!aV  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Br4 cDlU  
m,)QK*g|  
　　=3sina-4sin³a k(Ch=:Y  
omx[ :A  
　　cos3a :0!8?;j  
uJgec%xtq  
　　=cos(2a+a) ,;BO<Xn0O  
Ye0=Q#+  
　　=cos2acosa-sin2asina P! Vr5"]  
b QHE9jP  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa sFB  
~$l$D5BY  
　　=4cos³a-3cosa \hI" vT@WB  
|EZd@LJ<u  
　　sin3a=3sina-4sin³a s / ),q,  
.CIPfE7*I  
　　=4sina(3/4-sin²a) s[!"Y/V  
/ qT-0d#L  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] -fYd^\)  
RQ]FE&Sz  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) h)gp}@$!,Z  
nl*dH[m-  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) $~^[!?.To  
KFXw95sO  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ^WXGHd=Nd$  
 e=C@X  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) VG[ Ewg75  
j6Uvyv Xn  
　　cos3a=4cos³a-3cosa d2ei Yml1~  
Qa^_f .f  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ?Som{/ P  
~6ww  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] hBRzo2e  
1GI|uXS  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) @uT}54o*  
Y0_w'C"  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Mla?jQukWF  
?_JK'  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} y,ri>8PBT  
!CZIzk(n  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ' 1k9)  
4g4G \G7t  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ?d>'%9&>]x  
-HHduV)  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] KD?qF5=  
9r~<qF8  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) d 5 dRtc  
w~l0nXHb  
　　上述两式相比可得 /P 1G@1  
OB1hA  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) O sN|:  
To{PzTU:+.  
半角公式 zyI%L|r  
SNzM,9*sh  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ! {%YEC,!-  
h9/O~F  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. &Z6 i.  
j+'-?v  
和差化积 *QJjs"E4Q  
\ ((PP"'`  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W Ww(K?j  
O+j'[!NF6r  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] z#bG+8HE  
8$(_zb  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,RM,;J<s  
I3#WMz/  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] m3s$'$(sh  
g4r0Yl'`  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) GF%z"@j  
ge`3PlSP  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)  (i ?rF  
d qk>:  
积化和差 uTMlT?p7  
&E 5jh&  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] "/i+v|  
4H~"tCm?B  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ^9Ym+2{@ `  
TWDj T@  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 7<94z,o  
*GLLcM  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 7`7dmv7(Jc  
(d`1k6:,  
诱导公式 dkq %^  
ce3Zpgg  
　　sin(-α) = -sinα tw+cILW&  
T0r_U| ys  
　　cos(-α) = cosα \YPL1 k  
N}NTlV"$  
　　sin(π/2-α) = cosα <V|8],L/n  
g(nw4f  
　　cos(π/2-α) = sinα {5WwQ  
HcDcEwd  
　　sin(π/2+α) = cosα " n v;5.d  
P 9kqe@  
　　cos(π/2+α) = -sinα qv*8'F+ 4  
E Wgl3l  
　　sin(π-α) = sinα X2nO1ayf  
;>u0Ms^(  
　　cos(π-α) = -cosα ~xDQj|l=  
y ie]PMe  
　　sin(π+α) = -sinα ~zZ a}n W0  
cH&{G#O  
　　cos(π+α) = -cosα W*.{?O#1CS  
1NxDE  
　　tanA= sinA/cosA c12'M  
y!@B;  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα "t@.  
X zM]nv9P  
　　tan（π/2－α）＝cotα [U|= TEZC,  
D] FPh;wc  
　　tan（π－α）＝－tanα SUH8hcA+_P  
B qRMI4p  
　　tan（π＋α）＝tanα #t(( I3}S  
9b$wCWRJ  
万能公式 ! ,O (G^q  
:1>0uY  
　　 ?pm`pk;D  
T}ApFDnnw  
其它公式 8++AL;  
g>5d#[1  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ,[7lCJW}(  
9`z mnD  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 7L)*U|K  
Rf)e'?qS  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 gvU}W %  
C/? 2B:h  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 M}>VmC==  
 WGH\_ n  
　　对于任意非直角三角形,总有 [ 3_3,~.  
G1w!J$.t  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC QX2XY  
Rt[m8  
　　证: g9[ [u<K  
C~nv4+{L  
　　A+B=π-C C7PoWBw)  
!v15a97sL  
　　tan(A+B)=tan(π-C) (L?8jH~=Z(  
0ZlQk&;  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ~TrmRE|G  
Du9e\{K9KC  
　　整理可得 M,9W"  
ExfQ-h   
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC WFKk(5  
4Xn=Ll'  
　　得证 MupS(5k8\  
}zLyk-)|1^  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 6pOn_H7  
nmh{]kYN.  
其他非重点三角函数 ZI@|YRO|:Z  
Cml6A"i9hH  
　　csc(a) = 1/sin(a) sQhioTbx5  
.CLI='e$O0  
　　sec(a) = 1/cos(a) <8!y@YE  
g50V :a?x  
　　 oMWHTpr  
8Y!~O8w  
双曲函数 &wy- N  
:b*g o: 0  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 s9HM&~8   
J-' I/,  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 p \FaF  
3jB/+N8K  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) yd6v/W   
 fr,<@/  
　　公式一： fjML=(;  
7 F-CRPM  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： i6*%`BM  
3P]!},  
　　sin（2kπ＋α）= sinα z\z8!@Pb>  
~J)>  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 1+^I=^+\M  
A+0`7J  
　　tan（kπ＋α）= tanα tN#8)  
',g[r Sio  
　　cot（kπ＋α）= cotα ~!.B$  
`4k2:.GN  
　　公式二： `-;yu0 GO~  
*? XEF5  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： [W'[:RuB;x  
\. 4/0  
　　sin（π＋α）= -sinα AAs uC  
xP81 )  
　　cos（π＋α）= -cosα ]WF%Ac  
yY?&US!(  
　　tan（π＋α）= tanα Fhc^, iw  
!`Rl?+X  
　　cot（π＋α）= cotα mHBP/$"R  
E|4>_7-{  
　　公式三： /(Lve`t  
L0#G[j!  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 8 ,ft2  
I-$S_{Pl  
　　sin（-α）= -sinα MT*7P7*}  
|;h"<L  
　　cos（-α）= cosα Q ;aPp7DVD  
$frTc"h  
　　tan（-α）= -tanα =%8o/[/  
hK4UF <  
　　cot（-α）= -cotα KW;yj:BL  
@D.2A8>  
　　公式四： 6'h3;kmc  
u2 -^B  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： $*nUEu0kfD  
8m\H>-tCC  
　　sin（π-α）= sinα u]d,dr9  
.|V0{SHI9  
　　cos（π-α）= -cosα n'QX |'"n  
fkwGQ!  
　　tan（π-α）= -tanα ?y_]GW{i:c  
B5f;ZUhJ`  
　　cot（π-α）= -cotα o@n+Q0sr  
Az! <j8N  
　　公式五： 4F5Jzg-  
9a(pswW N  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： >2,\=!1(  
%(p<RM  
　　sin（2π-α）= -sinα "fQa!a7r  
lN9$.A]&k  
　　cos（2π-α）= cosα <`^t=(  
ml[lvG&J  
　　tan（2π-α）= -tanα giq5Yv!;I  
'hYx`{  
　　cot（2π-α）= -cotα `}<ae!vN\-  
x~x7@2Nr  
　　公式六： +ZrG BJ  
9hL"&= 5  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ' 6+'q)  
3G:1w"f<pO  
　　sin（π/2+α）= cosα >W@f?   
!cDG=cNhL  
　　cos（π/2+α）= -sinα eJ}\6nP  
GC5g4jV  
　　tan（π/2+α）= -cotα [@M bVNo  
~>* X{>  
　　cot（π/2+α）= -tanα PuPv)#0{F  
\6 :+ !X  
　　sin（π/2-α）= cosα _QXo{]s  
6n_ A2  
　　cos（π/2-α）= sinα >'S7  
G -IA?o  
　　tan（π/2-α）= cotα sPt{8c:oYU  
Q/R=(8l`  
　　cot（π/2-α）= tanα IV2NR p}  
E.a |vu}  
　　sin（3π/2+α）= -cosα iRRg_F;  
uE4xk CQ#  
　　cos（3π/2+α）= sinα uUePGkoNF  
~p7B>=bGQ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα u`[$r#y+  
WL,%UW6lR  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 95 [#(q  
Z:Fcr7)[  
　　sin（3π/2-α）= -cosα vMMU>rL  
RzB2Pe$=  
　　cos（3π/2-α）= -sinα W l]rFuq  
G3 <Maia  
　　tan（3π/2-α）= cotα o#U3'}g  
M}VKo`I-v  
　　cot（3π/2-α）= tanα K[Qe& }  
9iv Dr  
　　(以上k∈Z) * 08O  
)`Tg`lg  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 )ohateh  
%&"q8CR  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = -ls/7 7%C  
p)1q|tn  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } +JWw"{ETu  
`aS 8]X3  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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