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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 *! `7J\  
g 5s[:  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. M\A'||yn#  
1xoX:AFV  
　　1、三角函数本质： :{6;`jXC  
eGGq   
　　三角函数的本质来源于定义 S+E6Vou_  
c\Mc2n  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 G Z|4>3"y  
_^b^8S.g  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 8Vfw>cwfF  
f(\@28.p#  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： nK+>aG3  
^wu! )T"  
　　推导： 4@L|xs}   
|%*ob, F}  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 5`6r+Oh  
*xWW"Y$  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) YaPK\]x{  
e?JL~>NV)  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) .kjTfEZ  
J21/e~e  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 e^r}L{B\u  
L-EajL  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） *Vlu_R.  
8<RlA_m>  
　　[1] *f XI8<t  
 5Qn{d  
　　两角和公式 z/U7eV:m  
D]x<c.4  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB K~{U+BB[1>  
Y}Y+ju_I;#  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  kS;Mp~}  
s$+[@Hg^<  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ^SI%`BIKj  
4G?t$=yy  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB +&TJD-}  
KgfC'P 6 M  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) @xGoxAR'OY  
^,lM%5oJ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) A-7sSxMdM  
$RU x3V  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  +o7]M  
^,~M05  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 9?^5:  
>^GM (+pN  
倍角公式 Vx`Uz  
bHH8"hGCs  
　　Sin2A=2SinA•CosA :49)F*6  
%X ud{  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 VTM73Wa_j.  
d,7-X%Q  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Ln4 qi  
|-Z|   
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） yz .&nVc  
GcU&hyNzz  
三倍角公式 9O$A Gcym  
$;Suq*ro:c  
　　 F[n:*hW  
G/XMfg8o C  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) + ;' :-  
AvjpEKG  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) <[5cCHAj  
+"(#"44Ab7  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ^: $JD  
&Ct^Z  
三倍角公式推导 5~}`|+Q@;  
=X[r ml.C4  
　　sin3a 'I=S{g5'  
QJ#RzehH.  
　　=sin(2a+a) ID{F0{I  
d y ~+W]u  
　　=sin2acosa+cos2asina \#m5d>`b%  
eQM{l#-k>9  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina fI~0I;)  
1=y%_<h#  
　　=3sina-4sin³a ZAkL:bsA  
PIQZLb  
　　cos3a XkG%=d wV  
hu?Z2v6<  
　　=cos(2a+a) ivV8C0Yu  
\1f gB7-  
　　=cos2acosa-sin2asina dufR+3o"  
jlc!jbV  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 2@iXWqT0  
% YC<yl  
　　=4cos³a-3cosa db*Oie|?3X  
Kk?d 1  
　　sin3a=3sina-4sin³a M3? ` :+>  
u=\c;05  
　　=4sina(3/4-sin²a) S p{6/}N  
%sYvS.EG]  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] `r;Q! 4  
bC_F. mjyI  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) JWN@Wg<`W  
,Nv)(Yur  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) /(}X8sw+  
zw*k44#Zi8  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] PSe7BS#1sJ  
x1Fx#[j  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ^5Uk64`  
|#Pt,K  
　　cos3a=4cos³a-3cosa i!ZF% T  
|xg<l9:@Su  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 7 ;[l|l5%  
su<$=+h$  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] MV{c)V\  
+st3;Q\'  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) p`Xki9  
]C^O0ltn@  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) (1FPo$)  
n.sgPZ#  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} n3lRI G  
B-FM_:  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) !6q@9 oMJ  
eNsZ+9*P%  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] q\`wzzn  
 7J  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ip^ %1?+  
wjD5N?4P:  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Mjftv IR  
5 r7VL  
　　上述两式相比可得 <i^2Am/  
=1\r r*+  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  b71  
BK%>Ni8  
半角公式 Fh0 )z@5  
5GuwraVxe  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); qEg} JL;F  
6n!~ ^\`  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. u/M?w UA,  
n)>u}3zhI  
和差化积 lq@VgAb  
r3t4HAY/?  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] bB# |:U  
^y\7cMD3  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] "{?So`e)  
HJ8(4Se  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] {6o( ED  
rGm<;yB,  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] S;@<Ny;O  
-DArK*A  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) U{S"B285  
M X85>  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) tf*`r\9`  
S\Tpi  
积化和差 hpi)u  
$OF2Ly=  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 6@cr<,  
*AFf(; 2:  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] G#(XQqN  
Bqoe&__U0  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 5-g5}]  
WaTJGK  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] -[3+3 %k  
9XGddR  
诱导公式 t?g#w7I  
jr Xf/"  
　　sin(-α) = -sinα 5Vt{c-%-I  
;+c.Lv *  
　　cos(-α) = cosα CTHE-:[|  
(D`57eA13  
　　sin(π/2-α) = cosα sE5 ? gB;  
B}|_>;|}8  
　　cos(π/2-α) = sinα W4.uJ826  
:u]j e}L  
　　sin(π/2+α) = cosα zx@22W=``  
V{sjtRf5  
　　cos(π/2+α) = -sinα ~ )~nU `>  
$L v% !R  
　　sin(π-α) = sinα cM<^YR=4  
igHw 7>  
　　cos(π-α) = -cosα rj+alz  
_61pO zk  
　　sin(π+α) = -sinα :bZbN#Y0?  
I9r^Q~jYl  
　　cos(π+α) = -cosα ]* QxbY  
~ 0OMy.&9  
　　tanA= sinA/cosA VyOGC{i  
 1E Q7*  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ,r=`R^s  
VVHTRe#O  
　　tan（π/2－α）＝cotα mObT%f+  
J%GbQ1  
　　tan（π－α）＝－tanα KJYum{)  
~; CymoQ  
　　tan（π＋α）＝tanα 4e1H7L6  
h^D1N k  
万能公式 )#~Gz 5Q  
sL FexAj  
　　 Z1FB"s<  
il%oV>l"  
其它公式 @0 Wx n  
EJsaCj9  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 y5f8mEwm  
}M[vN_y  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ]Rc~ .rLS  
U0idp0 C  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 _L8{'  
pMOG69*}I  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 6r WAg9@K  
kf{A;a'  
　　对于任意非直角三角形,总有 eori -  
lN(<ZB  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC z#+)  
]vw8f!  
　　证: 'Pfu2e=/  
eG8eCQ  
　　A+B=π-C s<1U{FEI  
$$f)*r&  
　　tan(A+B)=tan(π-C) u9}w-XR  
:!<E8Grj<T  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) '#7w .N }f  
'Dm$MzR  
　　整理可得 y=L\uOi#4  
J `[vJC5  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8B_?xnC  
N/>P3]Yl  
　　得证 H?V<cM(  
/i@ /Tz,l9  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 _v8Eyl.u  
'^0U](i  
其他非重点三角函数 c52\fBS   
-E<glO|D 5  
　　csc(a) = 1/sin(a) 2a)yciy o  
A2|T.M?  
　　sec(a) = 1/cos(a) <`RP %q  
j22v2|=l  
　　 kg[Mpd,\w  
U2}~ghc  
双曲函数 S0T| ~;[ k  
LN  r>  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 !g65$'|&)  
+0 # [7r  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 {T2F**%  
K=/Wb 1  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) DS0Fmc1V|  
-x'twtM  
　　公式一： 2RTH:44F  
iz8yd-S,  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： v[<ym  
N_$PNU  
　　sin（2kπ＋α）= sinα }?)O'7)%  
7*Vm7%eOh  
　　cos（2kπ＋α）= cosα nG1^[*3w  
%VY71" e  
　　tan（kπ＋α）= tanα A (Cbw~Su  
=pN)FZ  
　　cot（kπ＋α）= cotα \{ %{]e  
GCo>9nxj  
　　公式二： 8m+Trs'p  
(ti{ b  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： M!% 6%  
/A!wh ]  
　　sin（π＋α）= -sinα O Pb<@%N  
(4G]_PQbm  
　　cos（π＋α）= -cosα ou 0v#  
^LpwY6>  
　　tan（π＋α）= tanα @xy+?At>  
z)OU{g#I  
　　cot（π＋α）= cotα N1H/-1^J5n  
e]E,`&oU  
　　公式三： 52CS[tz  
-6VVa-MF|  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： [q% zo=f  
1-C(o{IVV  
　　sin（-α）= -sinα 3,H^*{g /&  
__KJp`Wz  
　　cos（-α）= cosα {ZG#R!kq  
LpWc)zKQ  
　　tan（-α）= -tanα dZ1Z.Sxb[  
CpLr( J  
　　cot（-α）= -cotα -sh@  
8j)Tcy`6*  
　　公式四： mT&I\OO  
X7'] isLB+  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： rv66=9^  
U b[L_#  
　　sin（π-α）= sinα *B HHAr/  
j/L>cnBn  
　　cos（π-α）= -cosα (1igT/H^=  
<-H$e8~T  
　　tan（π-α）= -tanα :\_A#Xz  
lI Az]  
　　cot（π-α）= -cotα zo (FQ  
Rb^ h  
　　公式五： W<1n7Ku  
l ?=J&h  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： {?^,yQr4  
jo..mRp]  
　　sin（2π-α）= -sinα nq uwfwr  
D dg9BPA(  
　　cos（2π-α）= cosα 2v<sY\n`  
[%pZ},:B  
　　tan（2π-α）= -tanα 'nHOa{)  
GB^26Hhju{  
　　cot（2π-α）= -cotα )nBfe+  
nUZZj ]i  
　　公式六： *!DX)AkD  
a alDs)  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 3Go?"b[w  
mAW4N  
　　sin（π/2+α）= cosα  LYz fDF  
vPYWW/rO  
　　cos（π/2+α）= -sinα inE,/"  
>fo!nl~  
　　tan（π/2+α）= -cotα NLjZ<y  
+al6%2XvxV  
　　cot（π/2+α）= -tanα 01<c|Wz  
<b */ *  
　　sin（π/2-α）= cosα 9oytw-K 5  
P frrC  
　　cos（π/2-α）= sinα prdc CyQ1  
[N:P  
　　tan（π/2-α）= cotα 3(I|>NAFEW  
twCJ>  
　　cot（π/2-α）= tanα 34tj@Jw$_M  
7Nm d 6  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ME/(7  
)(p R~pfc  
　　cos（3π/2+α）= sinα V7]`BtoJE  
J{I/}jrP_6  
　　tan（3π/2+α）= -cotα nu& 06jPd  
'R)9wn!-  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ~(yF5[  
%[J5 1(y  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 9@H=huOHN  
s}+5]Cn&  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Qu"{}Wc  
4Mi)X%"D  
　　tan（3π/2-α）= cotα t~.N2Tjo5  
/l#Dl't@)]  
　　cot（3π/2-α）= tanα NkS TT ~  
30]_!2BKV  
　　(以上k∈Z) u}$F&+g  
8T c\f10  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 |gK~1jXx  
rm Wqf\zs  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = :i)afHS+:?  
`Rk@n  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } VswHT+ h)  
Y0y >#g  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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